ネスト分散分析（Nested Analysis of Variance）

1. Michael J. Crawley『Statistics : An Introduction Using R』（2005年4月刊行，John Wiley & Sons，ISBN:0470022981→目次）
2. Michael J. Crawley『Statistical Computing: An Introduction to Data Analysis using S-Plus』（2002年4月刊行，John Wiley & Sons，ISBN:0471560405→目次）

の該当章が役に立つ．ネスト分散分析についても解説されている．たとえば Jerold H. Zar『Biostatistical Analysis (Fourth Edition)』（1999年刊行，Prentice Hall，ISBN:0-13-081542-X）の nested ANOVA 例題（Example 15.1: pp. 304-305）では，異なる3薬（Drug）の中でのソース（Source）に関するネストをデザインし，血中コレステロール値（Cholesterol）の値を計測するという観察をおこなう．データ（SampleNestedANOVA.txt）は下記の通り：

Drug　　Source　　Cholesterol
　1　　　　a　　　　　102
　1　　　　a　　　　　104
　1　　　　b　　　　　103
　1　　　　b　　　　　104
　2　　　　a　　　　　108
　2　　　　a　　　　　110
　2　　　　b　　　　　109
　2　　　　b　　　　　108
　3　　　　a　　　　　104
　3　　　　a　　　　　106
　3　　　　b　　　　　105
　3　　　　b　　　　　107

データの読み込みから，因子指定までは下記の通り：

> mm <- read.table("SampleNestedANOVA.txt", header=T)
> attach(mm)
> Drug <- factor(Drug)
> Source <- factor(Source)

Drug 下に Source がネストされているので，線形モデルは「Cholesterol 〜 Drug/Source」となり， aov による分散分析は下記の通り：

> summary(aov(Cholesterol 〜 Drug/Source))

出力結果の分散分析表は下記の通り

            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
Drug         2 61.167  30.583 20.3889 0.002110 **
Drug:Source  3  1.500   0.500  0.3333 0.802202   
Residuals    6  9.000   1.500                    

上表でのF値はいずれも Residuals を分母として計算されているので，Zar が説明しているような“階層的”な F 検定をするときには（Drug:Source を Residuals で検定し，次いで，Drug を Drug:Source で検定するという手順），再計算が必要になるだろう．

〈R〉の英智である R-help の過去ログを掘り起こしてみたら，やっぱり同様の質問が数年前にありました：「nested anova not giving expected results」（15 Apr. 2002）．これに対して，間髪入れずに Peter Dalgaard 師曰く：「R は，SAS や GENSTAT と同じで，特別な指定がされていないかぎり，誤差項はただひとつしかないとみなす．つまり， Residuals がそれである」と．では，Zar や Rohlf & Sokal がやっているような nested ANOVA を〈R〉でするにはどうするか？ Dalgaard 師のアドヴァイスに従えば「 aov(Cholesterol 〜 Drug + Error(Drug:Source))」で問題は解決するとのこと．Split-plot design のように，誤差項を明示的に指定すればいいわけですね：

> summary(aov(Cholesterol 〜 Drug + Error(Drug:Source)))

分散分析表を表示すると：

Error: Drug:Source
          Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
Drug       2 61.167  30.583  61.167 0.003703 **
Residuals  3  1.500   0.500                    

> detach(mm)